சங்கியாவும் கணித்தும் அவர்களுடைய கணித வகுப்பில் ஏராளமான விஷயங்களைக் கற்றுவருகிறார்கள். சங்கியா, கணித்தின் கணிதம் பற்றிய மகிழ்ச்சியூட்டும் கண்டுபிடிப்புகளில் அவர்களோடு நாமும் சேர்ந்துகொள்ளலாம், வாருங்கள்! ஜீரோவும் ஏகாவும் சங்கியா மற்றும் கணித்தின் நண்பர்கள்.

இந்தப் புத்தகத்தில் சங்கியாவும் கணித்தும் பலவற்றையும் அளந்து மகிழ்கிறார்கள்.

சங்கியாவுக்கும் அவளது தம்பி கணித்துக்கும் எப்போதும் சேர்ந்து இருப்பது பிடிக்கும்.

இருவரும் ஒன்றாகத்தான் பள்ளிக்கூடத்துக்குப் போவார்கள், விளையாடுவார்கள். சிலசமயம் சண்டையும் போட்டுக் கொள்வார்கள்.ஒருநாள் அவர்கள் மேகதூத் மலையின் உச்சிக்கு ஏறினார்கள். அங்கிருந்து, முடிந்த அளவு சத்தமாகக் கத்தினார்கள்.

“நான் உன்னைவிட சத்தமாகக் கத்துவேன்” என்று கத்தினாள் சங்கியா.

“இல்லை! என்னால் உன்னைவிட சத்தமாகக் கத்தமுடியும்” என்று கிறீச்சிட்டான் கணித். சங்கியாவும் கணித்தும் பல பொருட்களை அளக்கக் கற்றிருந்தார்கள்.

நம்மால் ஏறக்குறைய எல்லாப் பொருட்களையும் அளந்து பார்க்க முடியுமென்பதில் இருவருக்கும் மிகுந்த ஆச்சரியம்.

நாம் எவ்வளவு சத்தமாகக் கத்துகிறோம் என்பதைக்கூட அளவிட முடியும்! அளவிடுவதும் தகவல்களைக் கையாள்வதும் கணிதத்தின் ஒரு பகுதியாகும்.  கணிதத்தை நமது வாழ்வில் பயன்படுத்துவது மகிழ்ச்சியூட்டுவதாகவும் பயன் தருவதாகவும் இருக்கும்.

அளந்திடுவோம் வாருங்கள்

இந்தப் புத்தகம் எவ்வளவு பெரியது? “இது மிகவும் நீளமானது” என்றாள் சங்கியா.

“இது அத்தனை பருமனானதல்ல” என்றான் கணித். “இது நம்முடைய சரித்திரப் புத்தகத்தைவிட அகலமாக இருக்கிறது” என்றான் கணித். ஒரு பொருளுக்கு அளக்கப்படவேண்டிய பல பக்கங்கள் இருக்கும். அளப்பது பொருட்களின் அளவை ஒப்பிட்டுப் பார்க்க உதவுகிறது. ஒரு பொருளின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் அளந்திட வெவ்வேறு அலகுகளை நாம் உபயோகிக்கிறோம். புத்தகத்தின் வடிவம் வழமையானதாக இருப்பதால், அதை அளப்பது எளிது.

புத்தகத்தின் மேற்பக்கம் எத்தனை விரற்கடை அகலம் என்று பார்ப்போம்.“12 விரல்கள் அகலம்” என்றாள் சங்கியா. அவள் தன் இடது கையின் நான்கு விரல்களையும், பிறகு வலது கையின் நான்கு விரல்களையும், மீண்டும் இடது கையின் நான்கு விரல்களையும் அளவிடுவதற்கு உபயோகித்தாள்.

“10 விரற்கடை அகலம்” என்றான் கணித். அவனுடைய விரல்கள் சங்கியாவின் விரல்களை விட பருமனானவை.

கணித் ஒரு அளவுகோலை(ஸ்கேல்) எடுத்து அளந்துவிட்டு, “12 செ.மீ.” என்று சொன்னான்.

1. புத்தகத்தின் அகலம் 12 செ.மீ. என்றால், சராசரியாக சங்கியாவுடைய விரல்களின் பருமன் என்ன?

2. கணித்துடைய விரல்களின் சராசரி பருமன் என்ன?

3. அளவுகோலை உபயோகித்து உங்கள் உயரத்தையும், உங்கள் நண்பர்களின் உயரத்தையும் கண்டுபிடியுங்கள்.

4. அளவுகோலையோ அல்லது வேறு எந்த அளவிடும் உபகரணத்தையோ மீண்டும் மீண்டும் உபயோகப்படுத்தாமல் (ஒரு முறை உபயோகிக்கலாம்) உங்கள் வகுப்பின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா?

என் வகுப்பறை

ஆலமரத்தடியில்

சங்கியாவும் கணித்தும் பள்ளியிலிருந்து உல்லாசப்பயணமாக, மஹாராஷ்டிரா மாநிலத்தில் புனே அருகே ஒரு பெரிய ஆலமரம் இருக்குமிடத்துக்கு சென்றார்கள். மாணவர்களை எங்கும் தனியாகப் போகவேண்டாம் என்று ஆசிரியர்கள் எச்சரித்திருந்தனர்.

“விழுதுகளால் உருவாகிய 320க்கும் மேற்பட்ட தூண்கள் இங்கே உள்ளன. எனவே எளிதாகத் தொலைந்துவிடுவீர்கள்” என்று எச்சரித்தார் சரோஜா டீச்சர்.

சங்கியா தன்னைச் சுற்றியிருந்தோரை எண்ண முயன்றாள்.

நூறு வரை எண்ணிய பின் முயற்சியைக் கைவிட்டாள்.

“இந்த மரநிழலில் சுமார் 20,000 பேர் வரை நிற்கலாம்” என்றார் வெங்கட் சார்.

“இந்த ஆலமரம் உலகத்திலேயே மிகப்பெரிய மரங்களுள் ஒன்று. இதன் சுற்றளவு 800 மீட்டர்” என்றார் சரோஜா மேடம்.

“சுற்றளவு என்றால் என்ன?” என்று ஒரு சிறுவன் கேட்டான்.

“இரு பரிமாணங்கள் கொண்ட ஒரு பொருளுடைய எல்லையின் நீளமே சுற்றளவாகும். சுற்றளவு பற்றி ஒரு கதை சொல்கிறேன், உட்காருங்கள்” என்றார் ஆசிரியர்.

ஒரு வட்ட நிலம்

கதை - ஆர்.கே. மூர்த்தி

மஹாராஜா விஜய விக்ரம், இந்தியப் பகுதியொன்றை ஆண்ட அரசர். அவர் நியாயமானவர், நேர்மையானவர், கருணையான உள்ளமும் வாரி வழங்கும் குணமும் கொண்டவர்.

ஒரு நாள் ஒரு ஏழை கிராமவாசி அரசவைக்கு வந்தார். அரண்மணை நுழைவாயிலில் காவலாளி அவரை உள்ளே செல்ல விடாமல் தடுத்தான். கிராமவாசி அரசரை சந்திக்க விரும்புவதாக காவலாளியிடம் சொன்னார். கிராமவாசி மெலிந்து, பசியால் வாடியவராகக் காணப்பட்டார். அவரது ஆடைகள் தூய்மையாக இருந்தாலும், பல இடங்களில் தைக்கப்பட்டு, கிழிசல்கள் சாமர்த்தியமாக மறைக்கப்பட்டிருந்தன. அவர் பரம ஏழையென பார்த்தாலே தெரிந்தது. காவலாளி அவரை வெறுப்புடன் முறைத்துப் பார்த்தான்.

“போடா பிச்சைக்காரா!” என்று சத்தமாகச் சொல்லிவிட்டு காறித் துப்பினான். “எங்கிருந்து வந்தாயோ அங்கேயே போய்விடு. மஹாராஜா, அமைச்சர்களுடன் நாட்டைப்பற்றிய ஆலோசனையில் இருக்கிறார். உன்னை மாதிரி ஆட்களையெல்லாம் சந்திக்க அவருக்கு நேரமில்லை” என்று புதிதாக வேலையில் சேர்ந்திருந்த அந்தக் காவலாளி அவரைத் திருப்பியனுப்ப முயன்றான்.

“ஆனால், நான் அவருடைய குடிமகன். குடிமக்களை பார்த்துக்கொள்வதும், அவர்களுடைய தேவைகளையும் நலனையும் கவனிப்பதும் அவர் கடமை” என்று கிராமவாசி கெஞ்சினார்.

“எப்படி நாட்டை நடத்த வேண்டுமென்று நீ மஹாராஜாவுக்குச் சொல்கிறாயா?” என்று காவலாளி, கோபமாக கண்களை உருட்டியபடி கிராமவாசியை உடனே அங்கிருந்து ஓடிப் போகச்சொன்னான்.

“நான் காத்திருக்கிறேன்” என்றார் கிராமவாசி.

“மேயப்போன மாடுகள் வீடுதிரும்பும் வரை நீ காத்திருக்கலாம்” என்று ஏளனமாகக் கூறி சிரித்தான் காவலாளி.

மஹாராஜா விஜயவிக்ரமும் தலைமை ஆலோசகர் பண்டிட் வித்யாசாகரும் பிரதான வாயிலை நோக்கி வந்து கொண்டிருப்பதைப் பார்த்ததும், அவன் சிரிப்பைப் பாதியில் முழுங்கிக்கொண்டான். உடனே, காவலாளி கிராமவாசியை மெல்ல ஓரமாகத் தள்ளிவிட்டு நிமிர்ந்து விறைப்பாக நின்றான். மஹாராஜா விஜயவிக்ரம் அருகில் வந்ததும் வணக்கம் வைத்துவிட்டு, “மஹாராஜா விஜயவிக்ரமுக்கு வெற்றி உண்டாகட்டும்” என்றான்.

கிராமவாசியும் அப்படியே கத்தினார். ஆனால் அவர் குரல் சற்றுக் கடுமையாகவும் ஏளனத் தொனியிலும் இருந்தது.

மஹாராஜா, அதைக் கேட்டுத் திரும்பிப் பார்த்தார். கிராமவாசி குனிந்து வணங்கினார்.

“நண்பரே, தாங்கள் இங்கு வந்த காரணம் என்ன?” என்று அவரிடம் கேட்டார் அரசர்.

“ஓ! மேன்மை மிகுந்த அரசரே! நான் மிகவும் ஏழை. என்னிடம் சொந்தமாக நிலம் இல்லை. மற்றவர்கள் நிலத்தில் வேலை செய்கிறேன். நாள் முழுவதும் உழைக்கிறேன். ஆனாலும் மிகச் சொற்பமான ஊதியமே கிடைக்கிறது. பல நேரங்களில் அந்த வேலையும் இருப்பதில்லை. அதனால் நான் பட்டினிதான். என் மனைவியும் பிள்ளைகளும் கூடத்தான்! எனக்கு ஒரு துண்டு நிலம் கொடுங்கள். அதில் நான் பாடுபட்டு உழைத்து வரும் விளைச்சல் மூலம் என் குடும்பத்தைக் காப்பாற்றுவேன்” என்று தெளிவாகப் பேசினார் கிராமவாசி.

அரசர் கிராமவாசியை மேலும் கீழும் பார்த்தார். அவர் மிகவும் மெலிந்து, ஒரு நடமாடும் எலும்புக்கூடு போல அரசரின் கண்ணுக்கு தெரிந்தார். ஆனால் அவரது குரல் தெளிவாக இருந்தது. தன் கோரிக்கையைத் தெளிவாக எடுத்துச் சொன்னார். அரசர் முன் வந்ததும் வார்த்தைகளுக்கு தடுமாறும் மற்றவர்களைப் போலில்லை.

அரசருக்கு அது மிகவும் பிடித்திருந்தது. “நீ தெளிவாகப் பேசுகிறாய்” என்றார் அவர்.

“மேன்மை தாங்கிய அரசரே! நான் சிறுவயதில் பண்டிட் விஜயேஸ்வரரிடம் பாடம் கற்றேன்” என்றார் கிராமவாசி. “அவர் எனக்கு படிக்கச் சொல்லிக் கொடுத்தார். சதுரங்கள் வட்டங்களை எனக்கு அறிமுகப்படுத்தினார்.

கொடுத்த வடிவத்தின் சுற்றளவு, பரப்பளவு மற்றும் கொள்ளளவுகளை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்றும் சொல்லிக் கொடுத்தார். அது மிகக் கடினமானது. ஆனால் என்னுடைய அன்பான ஆசிரியர் மிகவும் பொறுமைசாலி. ஒவ்வொரு விவரத்தையும் புரியும் வரை மீண்டும் மீண்டும் சொல்லிக் கொடுத்தார்.

எனக்கும் அதிகம் படிக்க ஆசைதான். ஆனால் அவர் திடீரென்று இறந்து விட்டார். அவர் இன்னும் கொஞ்ச காலம் வாழ்ந்திருந்தால், நானும் நன்கு படித்து ஒரு ஆசிரியராகும் அளவு கற்றிருப்பேன். இப்பொழுது வறுமையில் வாடுகிறேன். ஒரு துண்டு நிலம் கிடைத்தால் போதும். நான் உழைத்துப் பயிர் செய்து, தேவையான அளவு உற்பத்தி செய்து வறுமையிலிருந்து விடுபடுவேன்” என்று மேலும் சொல்லி நிறுத்தினார்.

“ஓ! நீங்கள் பண்டிட் விஜயேஸ்வரரிடமா படித்தீர்கள்? நமது நாட்டிலேயே மிகுந்த ஞானமுள்ளவர் அவர். இன்றும் கூட அவரின் இழப்பை உணர்கிறோம்” என்று மஹாராஜா வருத்தத்துடன் சொன்னார். பிறகு ஆலோசகர் பண்டிட் வித்யாசாகரிடம் திரும்பி, “இவருக்கு தேவையானதைக் கொடுங்கள்” என்றார்.

“உத்தரவு, மஹாராஜா!” என்றார் பண்டிட் வித்யாசாகர்.

“எங்கே அவருக்கு நிலம் கொடுப்பீர்கள்?”

“தலைநகரத்தின் கிழக்கே ஒரு பெரிய வறண்ட பூமி உள்ளது. அங்கு எதுவும் விளைவதில்லை. அந்த நிலத்தை வளமையாக்கி விளைச்சல் எடுக்க ஒரு திட்டத்தைத் தயாரித்துள்ளோம். தண்ணீருக்கு கால்வாய் ஒன்றை உருவாக்கியுள்ளோம். இது வறண்ட பூமியின் நடுவே செல்கிறது. அங்கே சில விவசாயிகளை ஏற்கனவே குடியமர்த்தி உள்ளோம். அங்கேயே இவருக்கும் கொஞ்சம் நிலம் கொடுக்கலாம்” என்றார் அமைச்சர்.

“எவ்வளவு நிலம் வேண்டும் உங்களுக்கு?” ராஜா கேட்டார்.

“10,000 அடி சுற்றளவுள்ள ஒரு சிறு நிலம் போதும்” என்றார் கிராமவாசி.

“சுற்றளவு? சுற்றளவு என்ன பெரிய விஷயமா? இத்தனை வருடங்களில் இதுபோல் யாரும் உதவி கேட்டு பார்த்ததில்லை. சாதாரணமாக மக்கள் ஒரு ஏக்கர் என்றோ இரண்டு ஏக்கர் என்றோதான் நிலம் கேட்பார்கள். அவர்கள் பரப்பளவைப் பற்றிதான் யோசிப்பார்களே தவிர, சுற்றளவைப் பற்றி அல்ல” என்று அமைச்சர் குரலை சற்று உயர்த்தி சொன்னார்.

“மதிப்பிற்குரியவரே! தானம் கேட்பவர்கள் தேர்வு செய்ய முடியுமா? நீங்கள் எதைக் கொடுத்தாலும் ஏற்றுக்கொள்வேன். ஆனாலும் எவ்வளவு நிலம் வேண்டுமென்று நீங்கள்தான் கேட்டீர்கள். ஆகவே என் விருப்பத்தைச் சொன்னேன்” என்று கிராமவாசி பணிவுடன், உறுதியாகவும் தெளிவாகவும் சொன்னார்.

அரசர் சற்று குனிந்து கிராமவாசியின் கண்களைப் பார்த்தார். பின்பு, “உங்கள் மனதில் இதற்கு காரணம் ஏதோ இருக்கிறது, என்ன அது?” என்று கேட்டார்.

“பிரபுவே! என்னை அரசவையின் நடுவே அழைத்துச் செல்லுங்கள். எனக்கு என் முழங்கை நீள கயிறு ஒன்றும், சதுரங்கப்பலகை ஒன்றும் தேவை. பிறகு சுற்றளவு ஏன் முக்கியமென்று என்னால் விளக்க முடியும்” கிராமவாசி பணிந்து வணங்கி சொன்னார்.

“என்னுடன் வாருங்கள்” என்று கூறி மஹாராஜா அவரை அரசவைக்கு அழைத்துச் சென்றார். ஒரு காவலாளி விரைந்து சென்று சில நாற்காலிகளை கொண்டு வந்து அங்கே வைத்தான்.

மஹாராஜா தனது இருக்கையில் அமர்ந்தார். பண்டிட் வித்யாசாகரும் அமர்ந்தார். கற்கள் பதித்த அரசவையில், கிராமவாசி குத்துக்காலிட்டு உட்கார்ந்தார். மஹாராஜா ஒரு காவலாளியை அழைத்து ஒரு சதுரங்கப்பலகையும் நீளமான கயிறு ஒன்றும் கொண்டு வரச்சொன்னார். காவலாளி, சதுரங்கப்பலகை மற்றும் கயிறுடன் திரும்பினான்.

“சரி! இப்போது உன் காட்சி ஆரம்பமாகட்டும்” என்று அரசர் கை காட்டினார்.கிராமவாசி சம்மணமிட்டு தரையில் உட்கார்ந்தார். சதுரங்கப்பலகையை தன் முன்னே வைத்துக்கொண்டார். கயிற்றின் உதவியோடு சதுரங்கப்பலகையில் ஒரு முக்கோண வடிவம் செய்தார். பிறகு மஹாராஜாவை நோக்கி, “ஐயா! மேன்மைதங்கிய மன்னரே! தயவுசெய்து இங்குள்ளவரில் ஒருவரை, இந்த முக்கோணத்தின் உள்ளே இருக்கும் சதுரங்களை எண்ணச் சொல்லுங்கள். சதுரத்தின் பெரும்பாலான பகுதி முக்கோணத்தின் உட்புறமாக இருந்தால், அதை முழு சதுரமாக எண்ணட்டும். சதுரத்தின் பெரும்பாலான பகுதி முக்கோணத்தின் வெளிப்பக்கம் இருந்தால் அதனை கணக்கிடாமல் விடட்டும்” என்று தனது நிபந்தனையையும் சொன்னார்.

“பண்டிதரே! நீங்கள் எண்ண விரும்புகிறீர்களா?” என்று அரசர் கேட்டார்.

“மகிழ்ச்சியோடு செய்கிறேன் மன்னா!” என்று கூறி பண்டிதர் தன் இருக்கையிலிருந்து எழுந்து வந்து குனிந்து, கயிற்று முக்கோணத்தின் உள்ளே அமைந்த சதுரங்களை எண்ணி, ஒரு புத்தகத்தில் குறித்துக்கொண்டார். “இதுதான் முக்கோணத்தில் அடைபட்ட பரப்பு” என்றார் கிராமவாசி. “தெரியும்” என்றார் அரசர்.

கிராமவாசி இப்போது கயிற்றின் உதவியால் சதுரங்கப்பலகையில் சதுர வடிவம் ஒன்று செய்தார்.

பண்டிதர் அதனுள் இருந்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கையையும் குறித்துக்கொண்டார். தொடர்ந்து கிராமவாசி செவ்வகம், அறுகோணம், எண்கோணம், வட்டம் என்று வெவ்வேறு வடிவங்களை அமைத்தார். பண்டிதரும் ஒவ்வொரு வடிவத்தினுள்ளே இருந்த சதுரங்களை கணக்கிட்டு குறித்து வைத்துக்கொண்டார்.

இப்பொழுது கிராமவாசி பண்டிதரிடமிருந்து அளவு அட்டவணையை வாங்கி, அரசரின் முன்னே காட்டி, “மேன்மை மிக்கவரே, எல்லா சமயங்களிலும் கயிற்றின் நீளம் ஒன்றாகத்தான் இருந்தது. எனவே நான் அமைத்த எல்லா வடிவங்களின் சுற்றளவும் ஒன்றேதான்” என்று கூறினார்.

“ஆம்! அது உண்மைதான்” என்று அரசரும் அதை ஆமோதித்தார்.

“ஆனால் இந்த வடிவங்களுக்குள் அடைபட்ட பரப்பு வேறுபடுகிறது. இந்த பட்டியலைப் பாருங்கள். இவற்றுள் வட்ட வடிவத்தில் அடைபட்ட சதுரங்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருப்பதால், அதிக பரப்பும் இதனுள்தான்” என்று விளக்கினார் கிராமவாசி.

“அற்புதம்! வட்ட வடிவம்தான் அதிகப்பரப்பைக் கொண்டது என்று எப்படி உனக்குத் தெரியும்? தயவுசெய்து சொல்!” என்றார் அரசர்.

“அரசே, இந்த அறிவுக்குக் காரணம் பண்டிதர் விஜயேஸ்வரர்தான்” கிராமவாசி இரு கைகளையும் வணக்கம் செய்யும் பாவத்தில் கூப்பினார்.

“அன்பரே! உனக்கு நிலம் கொடுக்கிறேன். நீ அதற்கு மேலாகவும் பெறுவதற்கு தகுதியுடயவன். இனி என் ராஜசபையிலும் உனக்கு ஒரு இடமுண்டு” என்று மஹாராஜா கிராமவாசியின் தோள்களைத் தட்டியபடி சொன்னார்.

சரோஜா டீச்சர் கதையை சொல்லி முடித்த பின், மாணவர்கள் யாரும் அசையவில்லை. அவர்களுக்கு சுற்றளவு இத்தனை முக்கியமான ஒன்றாக இருப்பது பெரிதும் வினோதமாக இருந்தது.

1. 100 மாணவர்கள் கொண்ட குழு ஒன்று புனேயின் பிரசித்தி பெற்ற பெரிய ஆலமரத்தைப் பார்க்கச் சென்றால், அந்த மரத்தின் சுற்றளவை எந்த அளவுநாடாவும் இல்லாமல் கண்டுபிடிக்க வழி சொல்லுங்கள்.

2. உங்கள் வீட்டில் மாட்டுக் கொட்டகை கட்டவேண்டும். மிகக்குறைந்த பொருட்களைக் கொண்டு அதிக பரப்புடைய மாட்டுக்கொட்டகை கட்ட எந்த வடிவத்தை தேர்ந்தெடுப்பீர்கள்?

3. சில வடிவங்களின் சுற்றளவைத் தெரிந்து கொள்ள, நமக்குத் தெரியவேண்டிய அளவுகள் மிகக்குறைவே. உதாரணமாக சதுரத்தின் சுற்றளவைத் தெரிந்துகொள்ள ஒரு பக்கத்தை அளந்தால் போதுமானது. சதுரத்தின் சுற்றளவு அதன் ஒரு பக்க நீளத்தின் நான்கு பங்கு. மற்ற வடிவங்களின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?

a) செவ்வகம் b) வட்டம் c) அறுகோணம்

மெல்லச் செல்லும் குதிரைப்பந்தயம்

ஒரு அரசன் தனது இரண்டு ராஜகுமாரர்களின் புத்திசாலித்தனத்தை பரிசோதிக்க விரும்பினான்.

“நீங்கள் அவரவர் குதிரைகளில் ஏறிக்கொண்டு, நமது ராஜ்ஜியத்தின் எல்லை வரை சென்று திரும்பி வாருங்கள். எந்தக் குதிரை கடைசியில் வருகிறதோ, அவன்தான் வென்றவன்” என்று கூறிய அரசர், “அரண்மனைக்கு அந்தி சாயும் முன் வந்து விட வேண்டும்” என்றும் கட்டளையிட்டார்.

நாம் எப்பொழுதும் அதிக வேகம், அதிக உயரம், அதிக தூரம் அல்லது அதிக நீளத்துக்குத்தான் முயற்சி செய்வோம். இங்கு பிரச்னை என்னவென்றால் போட்டியாளர் மெதுவாகச் செல்லவேண்டும் என்பது பந்தய விதி.

“நான் மெதுவாக சென்றால், நீ என்னை விட மிக மெதுவாக வருவாய்!” என்றான் மூத்த இளவரசன்.

“நாம் குதிரையில் மிக மெதுவாக ராஜ்ஜியத்தின் எல்லைக்குச் சென்றால், அந்தி சாயும் முன் அரண்மனைக்கு திரும்பி வர முடியாது” என்று கூறினான் இளைய ராஜகுமாரன்.

வயதான, அனுபவம் மிகுந்த அமைச்சர் இவர்களின் குழப்பத்தைப் புரிந்து கொண்டார். “இளைஞர்களே, இப்படிச் செய்யுங்களேன்...” என்று காதில் ரகசியமாக ஏதோ சொன்னார். “இப்படிச் செய்தால் பந்தயம் சீக்கிரம் முடிவதோடு, இருவரில் ஒருவர் வெற்றி பெறுவதும் நிச்சயம்” என்றார் அவர். கதையை கவனமாகப் படியுங்கள். ராஜகுமாரர்களுக்கு அறிவுமிக்க அமைச்சர் என்ன யோசனை கூறினார் என்பது உங்களுக்கே புரியும்.

வேகமானது, உயரமானது, தொலைவானது

நம் நிலைமையை ஒப்பிட்டுத் தெரிந்து கொள்ள அளவிடுதல் தேவையானது.

பொதுவாக, நாம் இருப்பதிலேயே மெதுவாகச் செல்பவை குறித்து அவ்வளவாக கவலைப்படுவதில்லை. பாலூட்டிகளில் சிறுத்தைதான் வேகமானது. அதன் வேகம் மணிக்கு 110கி.மீ.

ஒட்டுண்ணிகள் (நாயின் உடலை விளையாட்டு மைதானமாக பயன்படுத்துபவை) உயரம் தாண்டுவதில் திறமைசாலிகள். அவை 33செ.மீ. உயரம் தாண்டும். 1.5மி.மீ. நீளமேயுள்ள உடலைக் கொண்ட ஒட்டுண்ணிக்கு, இந்தத் தாண்டுதல் அதன் உடல் நீளத்தின் 220 மடங்காகும்.

எறும்பு தன்னை விட 50 மடங்கு எடையை சுமந்து செல்லக் கூடியது.

வானத்தில் பறக்கும் ‘ஸ்விஃப்ட்’ பறவை வேகத்தில் சாம்பியன். அது மணிக்கு சுமார் 200கி.மீ. வேகத்தில் மேலிருந்து கீழே வரக்கூடியது.

தேனீக்கள் 20 கிராம் மெழுகை உபயோகித்து சுமார் ஒரு கிலோ எடையுள்ள தேனைத் தாங்கும் தேன் அடையை உருவாக்க வல்லவை.

தேனடை அறுகோண வடிவ அறைகளால் உருவாக்கப்பட்டது. இவ்வகை குழிவான அறைகளின் அமைப்பு கூட்டை மிகுந்த பலமுடையதாக ஆக்குகிறது.

அவர்கள் எப்படிச் செய்தார்கள்?

ஒரு மழை நாளில் சங்கியாவும் கணித்தும் தாழ்வாரத்தில் ஏதோ விளையாடிக் கொண்டிருந்தார்கள். “அந்தச் சுவர் இங்கிருந்து எத்தனை தூரம் என்று யூகிக்க முடியுமா?” என்று கேட்டான் கணித்.

“15 அடி” என்று கணக்கிட்டாள் சங்கியா.

கணித், ஒரு காலின் முன் இன்னொரு கால் என்று அடி மேல் அடி வைத்து அளந்து விட்டு, “அக்கா! இல்லை, இது 10 அடி தூரம்தான்” என்றான்.

“அது சரி! வாசல், எத்தனை சாண் அகலமானது என்று உன்னால் சொல்ல முடியுமா?” கேட்டாள் சங்கியா.

“சாணா? அது என்ன?” “அது அகலமாக விரித்த கையின் சராசரி நீளம். இப்பொழுது சொல், எத்தனை சாண்?” அகல விரித்த தன் கையையும், வாசல்வழியையும் பார்த்து விட்டு கணித் சொன்னான், “ஆறு”. சங்கியா கதவருகில் ஓடிச்சென்றாள். கைகளால் அளந்து பார்த்தாள்.

“நீ சொன்னது சரிதான்! எப்படிக் கண்டுபிடித்தாய்?” என்றாள்.“நான் ஒரு மேதை! தெரியுமா?” என்றான் கணித்.

உண்மையில் அவன் சாமர்த்தியசாலி. தன் முன்னே இருந்த தரையில் பதித்திருந்த கற்களில் ஒன்றின் அளவை அளந்து தெரிந்து கொண்டான். ஒரு கல்லின் அகலம் இரண்டு சாண் அளவு இருந்தது. வாசல், மூன்று கற்களை ஒட்டி இருந்தது. எனவே அது எளிதானது.

பழங்காலத்தில் ஜோதிடர்களும் கணித நிபுணர்களும் எந்தத் தூரத்தையும் மிகத்துல்லியமாக, இயற்கை நிகழ்வுகளின் உதவியோடு கண்டுபிடித்தனர். அவர்களிடம் கணக்கிட உதவும் கருவிகள் மிகச் சிலவே இருந்தன. நிச்சயமாக அவர்களிடம் கால்குலேட்டர் இருந்திருக்கவில்லை.

இந்தியாவின் கணித வல்லுனர் ஆர்யபட்டா, ஒருநாள் என்பது 23 மணி 56 நிமிடங்கள் நான்கு விநாடிகள் மற்றும் ஒரு சிறு பாகம் என்று கணித்தார்.

நவீன விஞ்ஞானிகள், மிகச் சிறந்த அளவிடும் அறிவியல் கருவிகளின் உதவியோடு ஒருநாள் என்பதின் அளவைக் கண்டுபிடித்துள்ளனர். அது 23 மணி 56 நிமிடங்கள் 4 விநாடிகள் மற்றும் 0.091 பாகம்.

சுமார் 600 வருடங்களுக்கு முன் விஜயநகர சாம்ராஜ்ஜியத்தில் முதலாம் புக்கரின் அரசவையில், சாயனா என்ற அறிஞர், ஒளியின் வேகத்தை அரை நிமிஷாவில் 2202 யோஜனா தூரம் செல்லக்கூடியது என்று கணக்கிட்டுச் சொன்னார். நிமிஷா மற்றும் யோஜனா இவற்றை விநாடிகள் மற்றும் மைல்கள் என்று மாற்றினால், ஒளியின் வேகம் விநாடிக்கு 186,413.22 மைல்கள் வரும்.

நவீன விஞ்ஞான முறையில் கணக்கிடப்பட்டுள்ள ஒளியின் வேகம், விநாடிக்கு 186,300.00 மைல்கள் ஆகும்.

ஒரு யோஜனா என்பது தூரங்களை அளக்க பழங்கால இந்தியாவில் பயன்படுத்தப்பட்ட ஒரு வேதகால அளவு. ஒரு யோஜனா என்பது சுமார் 14-15 கி.மீ.

ஒரு நிமிஷா என்பது ஒரு வேதகாலத்திய கால அளவு. அது ஒரு விநாடியின் 16/75 பங்காகும். அது 0.2 விநாடிகள்.

விநாடியில் 75ல் 16 பங்கு. சுமார். 2 நொடி.

இந்தியாவின் விஞ்ஞானிகளும் கணித வல்லுனர்களும் மிகமிகச் சிறிய அளவுகளையும் துல்லியமாக கணக்கிடுவதில் வல்லவர்களாக இருந்தனர். ஒரு அணு என்பது எத்தனை சிறியது? உங்கள் தலைமுடி ஒன்றின் நுனியைப் பாருங்கள்.

அதை நூறு பாகங்களாக்குவதாக கற்பனை செய்து கொள்ளுங்கள். இதில் ஒரு பாகத்தை மீண்டும் நூறு பாகங்களாக்கினால் கிடைக்கும் ஒரு பாகம் தான் அணுவின் அளவு.

இந்த விளக்கம், தொன்மையான இந்திய நூலான உபநிடதத்தில் உள்ளது. இப்பொழுது நாம் அணுவின் அளவைத் தெரிந்து கொண்டோம். அதாவது ஒரு சென்டிமீட்டரில் 100000000 பாகம்.

நாட்குறிப்புப் புத்தகங்களின் முன் பகுதியில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் அளவு மாற்ற அட்டவணையை பார்த்திருக்கிறீர்களா?

சங்கியாவின் மாமா அவளுக்கு ஒரு நாட்குறிப்புப் புத்தகத்தை பரிசளித்தார். அதில் கொடுக்கப்பட்டிருந்த அட்டவணை விவரங்களை படிப்பதில் அன்று முழுவதையும் கழித்தாள் சங்கியா.

பல விஷயங்கள் அவளுக்குப் புரியவில்லை. ஆனால் தனக்குப் புரிந்த சில குறிப்புகளை எழுதி வைத்துக்கொள்ள முடிவு செய்தாள்.

இதோ சங்கியாவின் அட்டவணை:

அளக்கப்படுவது

புதிய அலகு

1 கிலோகிராம் = 2.2 பவுண்டு

பவுண்டு

கிலோகிராம்

எடை

1 கேலன் = 1.5 லிட்டர்

இடையே உள்ள தொடர்பு

பழைய அலகு

1 அங்குலம் = 2.5 சென்டிமீட்டர்

சென்டிமீட்டர்

நீளம் (சிறியது)

1 மைல் = 1.6 கிலோமீட்டர்

மைல்

கிலோமீட்டர்

நீளம் (பெரியது)

கேலன்

லிட்டர்

கொள்ளளவு

அங்குலம்

வோல்ட் V

மின்சாரம்

டிகிரி °C

வெப்ப நிலை

கிலோ வாட் KW

மின்சக்தி

வேகம்

மணிக்கு இத்தனை கி.மீ. Km/h.

டெஸிபல் = dB

ஒலி

அளக்கப்படுவது

அளவிடும் அலகு

1. ஒரு கி.மீ. மற்றும் ஒரு மைல் - இதில் எது பெரியது?

2. நீங்கள் ரகசியக்குரலில் பேசினால் ஒலியின் அளவு 20 db. மர இலைகள் சலசலக்கும் ஒலி அளவு 10 db. ஒரு மோட்டார் பைக்கின் ஒலியின் அளவு 80 db என்றால் அந்த ஒலி, நீங்கள் ரகசியமாகப் பேசுவதைவிட எத்தனை மடங்கு அதிகம்?

3. கடலில் மீன்களைப் போன்று ஒரு உயிரினம் உண்டு. அதை மின்சார ஈல் என்பார்கள். அது தன் வாலில் உள்ள தசைகளிலிருந்து 660 வோல்ட் மின்சாரத்தை உருவாக்குகிறது. அதை உபயோகித்து தனது இரையை செயலிழக்க செய்கிறது. இந்த மின்சாரம் நாம் வீட்டில் உபயோகிப்பதை விட மூன்று மடங்கு சக்தி வாய்ந்தது. அப்படியானால் வீட்டில் உபயோகிப்பது எத்தனை வோல்ட்?

ஜீரோ நதிக்கு செல்கிறான்

ஜீரோவுக்கு யாராவது மிகப் பெரிய எண்களைப் பற்றியோ அல்லது மிகச் சிறிய எண்களைப் பற்றியோ பேசினால், தலை சுற்றும். அவனுக்கு வீட்டிலிருந்து சந்திரனுக்கு உள்ள தூரத்தை அளவிடும் ஆசையில்லை. சிறிய தூரங்களை அளப்பதே பிடிக்கும்.

உனக்கு தெரியுமா ஜீரோ? நதியின் அகலத்தை, நதியைத் தாண்டாமலேயே, அளவிடும் கருவிகளின் உதவியோடு கண்டுபிடிக்க முடியும்.

உண்மையாகவா? எப்படி?

ஏகா ஜீரோவுக்கு கொடுத்த விவரம்:

நதிக்கு அடுத்த பக்கம் மரம் (A) போல ஒரு குறியை தேர்ந்தெடுங்கள்.

அந்தப் புள்ளிக்கு இணையாக உங்கள் பக்கம் (B) குறியிடுங்கள்

பிறகு ஆற்றின் கரைக்கு இணையாக சற்று தூரம் நடந்து, சுமார் 50 மீட்டர் என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

அங்கே ஒரு குறியிடுங்கள் (C).

அங்கிருந்து அதே திசையில் முன்பு நடந்ததில் பாதி தூரம் சென்று (25மீ.) அங்கும் ஒரு குறியிடுங்கள் (D).

இப்போது 90 டிகிரி திரும்புங்கள். உங்கள் முதுகுப்பக்கம் ஆற்றின் கரையை நோக்கியிருக்கும். அக்கரையிலுள்ள மரம் இக்கரையிலுள்ள குறி இவை இரண்டும் ஒரே நேர்கோட்டில் வரும்வரை நடந்து அங்கு ஒரு குறியிடுங்கள் (E).

D மற்றும் Eக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தை அளந்து, அதை இரண்டு மடங்காக்குங்கள்.

இப்போது நதியின் அகலம் AB ஓரளவு துல்லியமாகக் கிடைக்கும். நீங்கள் இக்கரையில், அக்கரை மரத்துக்கு இணையாக குறி இடுவதிலும், சரியான கோணத்தில் பார்ப்பதையும் பொறுத்து விடை துல்லியமாக அமையும்.

AB = 2 x DE மீட்டர்.

இப்பொழுது நதியின் அகலத்தை, அதைக் கடக்காமலேயே கண்டுபிடித்து விட்டோம்.

முற்காலத்தில் கணித வல்லுனர்கள் இது போன்ற நுட்பங்களை உபயோகித்து பூமியிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள சூரியன், சந்திரன் போன்றவற்றின் தூரத்தைக் கண்டுபிடித்தார்கள்.

மரங்களுடன்

நல்ல வெளிச்சமான ஒரு நாளில், பனை மரத்தின் உயரத்தை கண்டுபிடிக்க ஒரு வழி சொல்வாயா?

பனைமரத்தின் மீது ஒரு அளவு நாடாவுடன் ஏறு. மேலே ஒரு முனையைப் பிடித்துக் கொண்டு, மரத்தின் கீழே உன் நண்பனிடம், அடுத்த முனையில் என்ன அளவு என்று பார்க்கச் சொல்.

ஜீரோ, நான் கேட்டது அப்படி அல்ல. மரத்தின் மீது ஏறாமல் இது முடியுமா?

சங்கியாவும் கணித்தும் எல்லாவற்றையும் அளவெடுக்கத் தொடங்கிவிட்டார்கள்.

நீங்களும் இதைச் செய்யலாம். வெவ்வேறு பொருட்களை அளவெடுக்க வெவ்வேறு வழிமுறைகள் உள்ளன. உங்கள் வீட்டை அளந்திடுங்கள். பயிற்சி ஆசிரியரின் உயரம். உங்கள் எடை. உங்கள் நாயின் வாலின் நீளம்.

நீங்கள் சைக்கிள் ஓட்டிச் செல்லும்போது, ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்தை அடைய நீங்கள் எடுத்துக்கொள்ளும் நேரத்தைக் கண்டுபிடியுங்கள். இதனால், நீங்கள் ஒருநாள் சைக்கிள் ஓட்டுவதில் சாம்பியன் ஆகலாம்.

விடைகள்

அளந்திடுவோம் வாருங்கள் - பக்கம் 7 - விடைகள் 1. ஒரு சென்டிமீட்டர். (ஒரு சென்டிமீட்டர் என்பதை சுருக்கமாக செ.மீ. என்று எழுதுகிறோம்). 12செ.மீ.ஐ 12ஆல் (சங்கியாவின் விரல்கள்) வகுத்தால் 1செ.மீ.

2. 1.2 செண்ட்டிமீட்டரை இப்படியும் சொல்லலாம். 1செ.மீ 2மி.மீ.

(மி.மீ. என்பது மில்லிமீட்டரின் சுருக்கம். 10 மில்லிமீட்டர் = 1செ.மீ.)

3. கணித் அளப்பதற்கு தன் கால்களை உபயோகிக்கிறான். ஒரு காலின் முன்னே மற்றொரு கால் என்று அடிமேல் அடி வைத்து அறையின் ஒரு மூலையிலிருந்து அடுத்த மூலை வரை செல்கிறான். இப்படி 15 முறை கால்களை ஒன்றன்முன் ஒன்றாக வைக்கிறான். பிறகு ஒரு அளவுகோல் கொண்டு தன் பாதத்தின் நீளத்தை அளந்தான். அது 12 செ.மீ. அறையின் அகலம் = 15 x 12 = 180 செ.மீ. நீங்கள் காலுக்கு பதிலாக மடித்த செய்தித்தாளை உபயோகித்தும் அளக்கலாம். கொத்தனார்கள் சுவற்றின் அளவுகளைத் தெரிந்துகொள்ள நீளமான நூலை உபயோகிப்பார்கள்.

ஆலமரத்தின் அடியில் - பக்கம் 23 - விடைகள்

1. சங்கியாவும் அவளது நண்பர்களும் புனேயில் உள்ள புகழ்பெற்ற பெரிய ஆலமரத்தின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிக்க முயல்கிறார்கள். ஒவ்வொருவரும் இரண்டு பக்கமும் கைகளை நீட்டி, இரண்டு பள்ளித்தோழர்களின் நீட்டிய கைகளைப் பிடித்துக்கொண்டு, ஆலம் விழுதுகளைச் சுற்றி வட்டமாக கைகோர்த்து நின்றார்கள். பிறகு விரித்த இடது கை விரல் நுனி தொடங்கி, மார்பைக் கடந்து, விரித்த வலது கை விரல்முனை வரை, ஒவ்வொரு மாணவரின் அளவுகளையும் எடுத்தார்கள். ஏறக்குறைய எல்லோருடைய அளவும் 1 மீட்டர் நீளம். (1 மீட்டர் = 100செ.மீ. = 1000மி.மீ.). 100 மாணவர்களும் சுமார் 8 முறை இப்படி நின்றால்தான் மரத்தை முழுமையாகச் சுற்றி வளைக்க முடிகிறது. எனவே ஆலமரத்தின் சுற்றளவு = 100 மாணவர்கள் x 1 மீட்டர் x 8 முறை = 800 மீட்டர்.

2. வட்டம். பண்டிட் விஜயேஸ்வரர் சொல்லியது போல், கொடுக்கப்பட்ட சுற்றளவுக்குள் அதிக பரப்பைக் கொண்டது வட்டம்தான்.

3. a) செவ்வகம். நீளம் மற்றும் அகலத்தை அளந்திடுங்கள். சுற்றளவு = 2 x நீளம் + 2 x அகலம். b) வட்டம். வட்டத்தின் ஆரத்தைத் தெரிந்து கொள்ளுங்கள். வட்டத்தின் சுற்றளவு = 2 x Pi x r. r என்பது  வட்டத்துக்கான கிரேக்க வார்த்தையின் முதல் எழுத்து. r = ஆரம் என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவை அதன் விட்டத்தால் வகுத்தால் வரும் தொகை. வட்டம் எந்த அளவினில் இருந்தாலும் Piயின் மதிப்பு ஒன்றேதான். Pi = 3.14 தோராயமாக.

c) அறுகோணம்: ஒரு பக்கத்தின் நீளத்தை அளவிடுங்கள். சுற்றளவு = 6 x ஒரு பக்க நீளம்

மெதுவான குதிரைப்பந்தயம் - பக்கம் 25 - விடைகள்

1. முதியவர் சொன்ன யோசனை இதுதான். இரு ராஜகுமாரர்களையும் அவர்களின் குதிரைகளை மாற்றிக்கொள்ளும்படி சொன்னார். மஹாராஜாவின் நிபந்தனை ஞாபகமிருக்கிறதா? எந்த ராஜகுமாரனின் ‘குதிரை’ கடைசியாக வருகிறதோ, அவனே வெற்றி பெற்றவன். இப்பொழுது இருவரும் மற்றவரின் குதிரையில் இருப்பதால், முதலாவதாகச் செல்வதற்குதான் முயலுவார்கள். அப்பொழுதுதானே அவரது ‘குதிரை’ கடைசியாக வரும்!

அவர்கள் எப்படிச் செய்தார்கள்? - பக்கம் 31 - விடைகள்

1. ஒரு மைல்தான் பெரியது. ஒரு மைல் நடப்பதற்கு 1கி.மீ. நடந்து மேலும் அரை கி.மீ.க்கு மேல் நடக்க வேண்டும்.

2. 4 மடங்கு அதிக ஒலி.

3. 216 வோல்ட். 650 வோல்ட்டுகளை 3ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும். நமது வீடுகளில் பொதுவாக இருப்பது 220 வோல்ட்.

மரங்களுடன் - பக்கம் 45 - விடைகள்

1. மரத்தின் நிழலைத் தேடுங்கள். ஒரு சிறு குச்சியை தரையில் ஊன்றி, அதன் நிழலின் நீளத்தை அளவிடுங்கள்.

குச்சி தரையிலிருந்து எத்தனை உயரமென்று கண்டுபிடியுங்கள். இப்பொழுது மரத்தின் நிழலை அளவிடுங்கள். இரண்டு விடைகளையும் ஒப்பிடுங்கள்.

குச்சியின் நிழல், குச்சியைவிட இரண்டு பங்கு பெரியதென்றால், மரத்தின் நிழல் மரத்தை விட இரண்டு பங்கு உயரம். மரத்தின் நிழல் 20 மீட்டர் என்றால், மரத்தின் உயரம் 10 மீட்டர். இதற்கு மாறாக குச்சியின் நிழலின் நீளம், குச்சியின் உயரத்தில் பாதி என்றால், மரத்தின் நிழலின் நீளமும் மர உயரத்தில் பாதிதான் இருக்கும்.

அதாவது மர நிழலின் நீளம் 5 மீட்டர் என்றால், மரத்தின் உயரம் 10 மீட்டர்.