முன்னொரு காலத்தில், ஒரு காட்டின் எல்லையில் அமைந்திருந்த பக்ஷிபூர் என்னும் கிராமத்தில் பாகு என்ற சிறுவன் வாழ்ந்துவந்தான். அவனுக்குப் பொருட்களை ‘எண்ணுவது’ மிகவும் பிடிக்கும்.

தினமும் பள்ளி முடிந்ததும் அவன், தன் அம்மாவுக்கு காய்கறிகளை எடைபோடவும், பணத்தை எண்ணவும் உதவி செய்வான்.

ஒரு நாள் மாலை, பாகு, வண்ணமயமான இரண்டு பறவைகளைப் பார்த்தான். அவை சிரிப்பது போலச் சத்தமிட்டு விட்டுப் பறந்தன. பாகு அவற்றைப் பின்தொடர்ந்து சென்றான்.

அவை குகையொன்றின் வழியாக, ஒரு காட்டிற்குள் பறந்துசென்றன. அந்தக் காட்டில், அந்தப் பறவைகளைப் போலவே எல்லாமே வித்தியாசமாக இருந்தன. அந்த நீல நிறக் குரங்குகள் விசில் அடிக்கின்றனவா என்ன? அந்த இளஞ்சிவப்பு யானைகள் என்ன செய்கின்றன? அவை ஏதோ ஒரு பாடலை முணுமுணுப்பது போலிருந்தது!

பாகு, சூரியன் சாய்வதைக் கவனிக்கவில்லை. விரைவில் இருட்டிவிட்டது. பாகுவிற்கு தான் எங்கே இருக்கிறோம்என்றே தெரியவில்லை.

சிறிது தொலைவில், கொழுந்து விட்டெரியும் நெருப்பைக் கவனித்தான்.

அதனருகே, ஒரு பெண்மணி நிலைகொள்ளாமல் நடந்து கொண்டிருந்தார். அவர் பெயர் மிடூ. பாகு அவரருகே சென்று, “எ...என்... என்ன ஆயிற்று?” என்று மெல்லக் கேட்டான்.

“என் பத்து வயது மகள் கோயாவுக்கு ஆறு மாதங்களுக்கு முன்னால் ஒரு அபூர்வமான வியாதி வந்துவிட்டது. அதன் பின்னர் அவளால் எழுந்து உட்காரவே முடிவதில்லை!’’ என்றார் அவர்.

“இதைக் குணமாக்க மருந்து இல்லையா?” என்று பாகு கேட்டான்.

“ஒன்றே ஒன்று இருக்கிறது. அது நீலம்பரா பூவின் தேன். அந்தப் பூ ஏழு நாட்களுக்கு ஒரு முறைதான் பூக்கும். ஆனால் பௌர்ணமி இரவில் சேகரிக்கப்பட்ட தேனால்தான் அவளைக் குணப்படுத்த முடியும். ஆறு மாதமாக ஒரு பௌர்ணமியன்று கூட அந்தப் பூ பூக்கவில்லை. அது பௌர்ணமியில் பூக்க இன்னும் எத்தனை நாட்கள் ஆகுமோ! நாளுக்கு நாள் கோயா நலிவடைந்து கொண்டே வருகிறாள்!” என்றார்.

பாகு வேகமாக மனக்கணக்கு போட்டான். பின்னர், “அழாதீர்கள்! அந்தப் பூ வரும் பௌர்ணமியில் பூக்கும். ம்ம்... சீக்கிரமே! இன்னும் ஒன்பதே நாட்களில்!” என்று நம்பிக்கையோடு சொன்னான்.

“எப்படி அவ்வளவு உறுதியாகச் சொல்கிறாய்?’’ என்று மிடூ சந்தேகத்துடன் கேட்டார்.

பாகு இவ்வாறு கணக்கு போட்டிருக்கிறான்: பௌர்ணமி முப்பது நாட்களுக்கு ஒருமுறை வரும். அந்தப் பூ ஏழு நாட்களுக்கு ஒருமுறை பூக்கும். அப்படியென்றால், அந்தப் பூ 210 நாட்களுக்கு – அதாவது ஏறக்குறைய ஏழு மாதங்களுக்கு ஒருமுறை பௌர்ணமியில் பூக்கும்.

ஆறு மாதங்கள் முடிந்து விட்டிருந்தன. எனவே நீலம்பரா அடுத்த பௌர்ணமி இரவில் பூக்கும்.அதற்கு இன்னும் ஒன்பது நாட்களே இருந்தன.

மிடூ பாகுவுக்கு நன்றி சொன்னார். பின்னர், பாகுவை அவனது கிராமத்தில் கொண்டுபோய்ச் சேர்த்தார்.

மூன்று வாரங்கள் கழித்து, பாகு நாவற்பழங்கள் சேகரித்துக் கொண்டிருந்த போது மிடூவை மீண்டும் சந்தித்தான்.

அவர் ஓடிவந்து அவனை அணைத்துக்கொண்டார்.

“பாகு! பார் இவள்தான் என் கோயா. அந்தப் பூ நீ சொன்னது போலவே அந்தப் பௌர்ணமியில் பூத்தது. அதன் தேன் இவளைக் குணப்படுத்தி விட்டது!” என்றார்.

கோயா குணமாகியிருந்தாள். பாகுவுக்கு மிக்க மகிழ்ச்சி. மிடூவின் உலகில் அனைத்தும் நலமாக இருந்தன.

பாகு எவ்வாறு கணக்கு போட்டான்?

நீலம்பரா 7 நாட்களுக்கு ஒருமுறை பூக்கும்; பௌர்ணமி 30* நாட்களுக்கு ஒருமுறை வரும் என்பது பாகுவுக்குத் தெரியும். ஆனால் பூ அந்தப் பௌர்ணமியில் பூக்கும் என அவனுக்கு எப்படித் தெரியும்? எல்லாம் கணக்குதான்! அதிலும், மீச்சிறு பொது மடங்கு என்பதை வைத்துத்தான்!

மீச்சிறு பொது மடங்கு என்றால் என்ன?

இரு எண்களின் மீ.பொ.ம என்பது அவ்விரு எண்களாலும் பின்னமின்றிவகுபடக் கூடிய எண்களில் மிகச்சிறிய எண்ணாகும்

*நிலவின் வளர்ச்சி மற்றும் தேய்மானச் சுற்று - அதாவது ஒரு பௌர்ணமியில் இருந்து அடுத்தது வரை-  28லிருந்து 31வரை எத்தனை நாட்களாக வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம். இது சராசரியாக29.53 நாட்கள் ஆகும். அதுவே 30 நாட்களாக முழு எண்ணாக்கப்பட்டுள்ளது.

மீ.பொ.ம.வைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி? 3 மற்றும் 5 என்ற இரு எண்களின் மீ.பொ.ம.வைக் கண்டுபிடி. 3-ன் மடங்குகளை எழுதவும்: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33… 5-ன் மடங்குகளை எழுதவும்: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…

இரண்டு எண்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும் மடங்குகள் 15 மற்றும் 30. அவற்றில் மிகச்சிறிய பொது மடங்கு 15. எனவே 3 மற்றும் 5–ன் மீ.பொ.ம 15 ஆகும்.

பகாக் காரணியாக்கும் முறை

பெரிய எண்களின் மீச்சிறு பொதுமடங்கை வழக்கமாக இந்த முறையை வைத்தே கண்டுபிடிப்போம். இதற்கு முதலில் ஒவ்வொரு எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத்தொகையாக பட்டியலிடவேண்டும்.

20 மற்றும் 30–ன் மீச்சிறு பொதுமடங்கைக் கண்டுபிடிக்க, முதலில், ஒவ்வொரு எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத்தொகையாக எழுதலாம். 20 = 2 x 2 x 5 30 = 2 x 3 x 5 இப்போது பகா எண்கள் அனைத்தையும் பெருக்கலாம்.** 2 x 2 x 3 x 5 = 60

நீலம்பரா எத்தனை நாட்களுக்கு ஒருமுறை பௌர்ணமியில் பூக்கும்? இதற்கான விடை 7 மற்றும் 30-ன் மீ.பொ.ம ஆகும். 7 = 7 x 1 30 = 2 x 3 x 5 மீ.பொ.ம = 2 x 3 x 5 x 7 x 1 = 210 எனவே நீலம்பரா பௌர்ணமியில் 210 நாட்களுக்கு ஒருமுறை பூக்கும்.

**ஒரு பகா எண் இரண்டு பட்டியல்களிலும் வந்திருந்தால், அது ஒரே பட்டியலில் ஒருமுறைக்கு மேல் வந்திருந்தால் தவிர அதை ஒரு ஜோடிக்கு ஒரு முறை என்று எடுத்துக்கொண்டால் போதும். இங்கே 2 என்பது இரு பட்டியல்களுக்கும் பொதுவாக ஒரு ஜோடி வந்திருக்கிறது, ஆனால் 20க்கான பட்டியலில் அது இரண்டு முறை வந்திருக்கிறது.

வீட்டுக்குப் பக்கத்திலிருக்கும் நொறுக்குத் தீனிக் கடையில் ‘வடா–பாவ்’ வாங்கி சாப்பிட முடிவு செய்கிறீர்கள். வடாக்கள் ஒரு பாக்கெட்டில் மூன்றும், பாவ்கள் ஒரு பாக்கெட்டில் நான்கும் இருப்பது கடைக்குப் போன பின்னர் தெரிகிறது. ஆகவே ஒவ்வொன்றிலும் எத்தனை பாக்கெட் வாங்கினால் உங்களிடம் சமமான அளவு ’வடா‘க்களும் ’பாவ்களும்’ இருக்கும்? (குறிப்பு: இங்கே மீ.பொ.ம உதவும்.)

மகிழ்ச்சியாகக் கொண்டாடுங்கள்!