எண்கள். நாம் அவற்றை தினமும் பயன்படுத்துகிறோம். கணக்கெடுக்கையில், அளவிடுகையில், விலை மதிப்பிடுகையில், மேலும் தொலைபேசியில் நண்பர்களை அழைக்கையில்கூட.
வடிவியல், கோலங்கள், ரங்கோலிகள், மற்றும் பல வடிவங்களையும் உருவாக்க எண்களை பயன்படுத்தலாம், தெரியுமா? பல எண் வரிசை அமைப்புகளை இயற்கையின் அற்புதமான வடிவங்களில் பார்க்கலாம், தெரியுமா?
சரி, ‘எண் வரிசை’ என்றால் என்ன?
எண்களின் வரிசை ஒன்றில், ஒவ்வொரு எண்ணும் ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் முந்தைய எண்ணுடன் இணைக்கப்பட்டிருந்தால் அதனை நாம் எண் வரிசை என்கிறோம்.
உதாரணமாக: 0, 1, 2, 3, 4... என்ற எளிமையான எண் வரிசை அமைப்பை எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதில் ஒவ்வொரு எண்ணும் அதன் முந்தைய எண்ணுடன் எவ்வாறு இணைக்கப்பட்டுள்ளன? முந்தைய எண்ணுடன் 1ஐக் கூட்டினால் அடுத்த எண் கிட்டுகிறது.
மற்றொரு உதாரணமாக: 14, 12, 10, 8, 6… இந்த வரிசையில் ஒவ்வொரு எண்ணிலும் முந்தைய எண்ணிலிருந்து 2 கழிக்கப்பட்டுள்ளது.
இப்போது சற்றே சிக்கலான ஒரு எண் வரிசையைப் பார்க்கலாம்: 0, 1, 3, 6, 10, 15...
இந்த அமைப்பு எப்படி எழுதப்பட்டிருக்கிறது? பார்க்கலாம் வாருங்கள். 0 + 1 = 1 1 + 2 = 3 3 + 3 = 6 6 + 4 = 10 10 + 5 = 15
இந்த வரிசையில் அடுத்த எண் என்னவாக இருக்கும் என்று உங்களால் ஊகிக்க முடிகிறதா?
ஆம், 21தான். ஏனெனில், 15 + 6 = 21.
இப்போது, இதே 1, 3, 6, 10, 15... எண் வரிசையிலிருந்து ஒரு ‘வடிவத் தொடரை’ உருவாக்க முடியுமா என்று பார்க்கலாம்.
முடியும்! புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை நமது எண் வரிசைக்கு ஏற்ப அதிகரிக்கும்போது பெரிய பெரிய முக்கோணங்கள் உருவாகும். இப்போது முக்கோணங்களின் ‘வடிவத் தொடர்’ ஒன்று நமக்கு கிடைத்துவிட்டது!
எண் வரிசை வடிவத் தொடராக மாறிவிட்டது!
அந்த எண் வரிசை சுவாரசியமாக இருக்கிறதா? இதுதான் உங்களை ஃபிபோனாச்சி (அல்லது ஹேமச்சந்திரா) என்ற அழகான எண் வரிசைக்கு அறிமுகப்படுத்த சரியான நேரம். ஃபிபோனாச்சி எண் வரிசை இப்படி இருக்கும்: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...
இந்த எண்களை இணைக்கும் முறையை கண்டுபிடித்தீர்களா?ஆம்! ஃபிபோனாச்சி வரிசையில், ஒவ்வொரு எண்ணும் அதற்கு முன்னுள்ள இரு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக உள்ளது! 0+1 = 1 1+1 = 2 2+1 = 3 3+2 = 5 5+3 = 8 8+5 = 13 13+8 = 21 21+13 = 34
அறிந்துகொண்டீர்கள் அல்லவா? அடுத்து, விதவிதமான இயற்கையின் வடிவங்களோடு ஃபிபோனாச்சி எண் வரிசையை இணைத்துப் பார்க்கலாம், வாருங்கள்!
பல மலர்களின் இதழ்கள் ஃபிபோனாச்சி எண்களோடு இணைக்கப்பட்டுள்ளன! உங்களால் 1, 3 மற்றும் 5 இதழ்கள் கொண்ட மலர்களைச் சொல்ல முடியுமா? (இவை ஃபிபோனாச்சி எண்களாகும்). உங்களுக்கு உதவ சில உதாரணங்கள்.
1 இதழ் - 1. அந்தூரியம்; 2. அல்லி
3 இதழ்கள் - 3. காகிதப்பூ; 4. குளோவர்
5 இதழ்கள் - 5. சம்பங்கி; 6. செம்பருத்தி; 7. மல்லி
2 இதழ்கள் கொண்ட மலர்களும் உள்ளன. ஆனால், அவை மிகவும் அபூர்வம். இந்தப் படத்தில் உள்ள கிரீட கள்ளி ஒரு உதாரணம்.
ஆனால், 4 இதழ்கள் கொண்ட மலர்களைக் (4 ஃபிபோனாச்சி எண்ணல்ல) கண்டுபிடிப்பது மிகவும் கடினம். நீங்கள் காணும் மலர்களின் இதழ்களை எண்ணிப்பாருங்கள்! (ஆனால், பறிக்காதீர்கள்!)
மிகவும் சுவாரஸ்யமான ஃபிபோனாச்சி மலர் டெய்சி(வெளிராதவப்பூ). வெவ்வேறு டெய்சி இனங்கள் 13, 21, அல்லது 34 இதழ்களைக் கொண்டுள்ளன - இவை யாவும் ஃபிபோனாச்சி எண்கள்.
இயற்கையில் மேலும் பல பிரமிப்பூட்டும் அமைப்புகள் ஃபிபோனாச்சி எண்களை அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளன. நீங்கள் கொஞ்சம் கணக்கு போடத் தயாரென்றால் நாம் அந்த அற்புதத்தைப் பார்க்கலாம்.
ஒவ்வொரு ஃபிபோனாச்சி எண்ணின் வர்க்கம்* என்ன என்று கணிக்கலாமா? ஃபிபோனாச்சி வரிசை: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... இந்த எண்கள் ஒவ்வொன்றின் வர்க்கம் பின்வருமாறு: 1x1 = ஒன்றின் வர்க்கம் = 12 = 1 2x2 = இரண்டின் வர்க்கம் = 22 = 4 3x3 = மூன்றின் வர்க்கம் = 32 = 9 5x5 = ஐந்தின் வர்க்கம் = 52 = 25 8x8 = எட்டின் வர்க்கம் = 82 = 64 13x13 = பதிமூன்றின் வர்க்கம் =13 2 = 169 ஃபிபோனாச்சி வரிசையின் வர்க்கம்: 1 - 4 - 9 - 25 - 64 - 169 - எனத் தொடரும்.
*ஒரு எண்ணை அவ்வெண்ணாலேயே பெருக்கினால், அவ்வெண்ணின் 'வர்க்கம்' கிட்டும். இதனை ‘ஸ்கொயர்’ அல்லது சதுர எண் என்றும் சொல்லலாம்.
முன்பு நாம் எண் வரிசையிலிருந்து முக்கோண வடிவங்கள் உருவாக்கினோம் அல்லவா? அதேபோல் ஃபிபோனாச்சி வர்க்க வரிசை அமைப்பை வடிவங்களாக்க முயற்சி செய்வோம்.
2 - மிகவும் எளிது - ஒரு சதுரம்.
22 என்பதை இப்படி வரையலாம்: அடுத்தடுத்து 2 சதுரங்கள் மற்றும் அதன்கீழே 2 சதுரங்கள்.
22 = 4 என்பதை நாம் அறிவோம். இந்தப் படத்தில் இருக்கும் நான்கு சதுர அமைப்பை சட்டம்(Grid) என்று அழைப்போம்.
இதேபோல், 32 என்பதை அடுத்தடுத்து 3 சதுரங்கள் மற்றும் அதன்கீழே 3 சதுரங்கள் என்ற அமைப்பில் வரையலாம். 32 = 9 என்பதால், இது 9 சதுரங்கள் உள்ள சட்டம்.
52 என்பதை 5 சதுரங்கள் குறுக்கே மற்றும் 5 சதுரங்கள் கீழே என, 25 சதுரங்கள் கொண்ட சட்டமாக வரையலாம். 82 என்பதை 8 சதுரங்கள் குறுக்கே மற்றும் 8 சதுரங்கள் கீழே என 64 சதுரங்கள் உள்ள சட்டமாக வரையலாம். இதேபோல, 132 என்பது 169 சதுரங்கள் கொண்ட சட்டமாகும். உங்களால் இந்த மூன்று சட்டங்களையும் வரைய முடியுமா? அபாரம்!
இதுவரை வரைந்த கட்டங்களை அருகருகில் இணைத்து படத்தில் உள்ளது போல செவ்வகமாக அமைத்துப் பாருங்கள்.
இவை அனைத்திலும் மிகச் சிறியதான சட்டத்தில், ஒரு மூலையிலிருந்து எதிர்நேரான மூலைக்கு, படத்தில் உள்ளதுபோல, ஒரு வளைகோட்டை வரையுங்கள்.
இப்போது அதே வளைகோட்டை மற்ற சட்டங்கள் வழியாக, சிறிய சட்டத்திலிருந்து பெரிதிற்கு, ஒரு மூலையிலிருந்து எதிர்மூலைக்கு என, வரைந்து சென்று 13இன் வர்க்க சட்டத்தில் முடியுங்கள். அப்படிச் செய்தால் கிடைப்பது ஃபிபோனாச்சி சுருள் என்ற ஒரு அழகான சுழல் அமைப்பு.
ஃபிபோனாச்சி எண்களின் வர்க்கத்தை வைத்து உருவாக்கப்பட்ட இந்த சுழல் வடிவத்திற்கும் இயற்கையில் தோன்றும் சுருள்களுக்கும் என்ன தொடர்பு என்று கேட்கிறீர்களா? அந்த அற்புதத்தைக் காணலாம், வாருங்கள்!
நமது சட்டங்களின் செவ்வக அமைப்பில் இன்னும் ஒரு சட்டமாக 212 சட்டத்தை சேர்த்துப் பார்க்கலாம்.
சுழல் தொடர்வதைப் பாருங்கள். இந்த சுழலை எங்காவது பார்த்திருக்கிறீர்களா?
கிளிஞ்சல்களில் ஃபிபோனாச்சி சுருள் வடிவத்தைக் காணலாம். (முந்தைய பக்கத்தில் உள்ளது போன்ற சுழல் வடிவத்தைக் காண நீங்கள் உங்கள் தலையை சற்று சாய்த்துப் பார்க்க வேண்டியிருக்கும்.)
...நத்தையின் ஓட்டில்
...முட்டையிலும் கூட. (16ஆம் பக்கத்தில் உள்ள சுழல் வடிவத்திற்கு நேர்மாறாக, இது இடஞ்சுழி வடிவில் இருக்கிறது, இல்லையா?)
சூறாவளி மற்றும் சில விண்மீன் திரள்கள் போன்ற பெரிய அமைப்புகளில் கூட ஃபிபோனாச்சி சுழல் வடிவம் தெரிகிறது.
அசத்துகிறது, இல்லையா?
ஒரு சுருக்கமான வரலாறு
இந்த அருமையான ஃபிபோனாச்சி எண் வரிசையின் வரலாற்றை பார்ப்போம்.
11ஆம் நூற்றாண்டில் (கிட்டத்தட்ட 1000 ஆண்டுகளுக்கு முன்), இன்றைய குஜராத்தில் வாழ்ந்த ஹேமச்சந்திரா என்ற ஜெயின் அறிஞர் மற்றும் துறவி, கவிதை மற்றும் இசைக்கல்வி பயில்கையில், ஒரு சுவாரசியமான எண் வரிசையைக் கண்டுபிடித்தார். அவர் நீண்ட மற்றும் குறுகிய ஒலித் துணுக்குகளைப் பல வழிகளில் இணைத்து மாறுபட்ட தாள முறைகளை உருவாக்க முடியுமா என்று ஆராய்ச்சி செய்துகொண்டிருந்தார்.
சுமார் 100 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, 1202இல், இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்டோ ஃபிபோனாச்சி (1170 -1250), அதே சுவாரசியமான எண் வரிசையை தனது ‘லீபர் அபாசி’(கணக்கீடு புத்தகம்) என்ற புத்தகத்தில் எழுதினார். ஃபிபோனாச்சி, மத்தியதரைக் கடலோரப்பகுதிகளில் ஏராளமாக பயணம் செய்தவர். கிழக்கிலிருந்து வந்த வணிகர்கள் எவ்வாறு கணக்கீடு செய்கின்றனர் என்று அவர் அறிந்துகொள்ள விருப்பப்பட்டார்.
ஃபிபோனாச்சி தனது பயணத்தின் போது ஹேமச்சந்திரா எண் வரிசையைப் பற்றி அறிந்துகொண்டிருக்கக்கூடும். ஆனால் அவர் ஐரோப்பாவில் அதை முதன்முதலில் அறிமுகப்படுத்தியதால் இந்த எண் வரிசை ஃபிபோனாச்சி எண்கள் என உலகப்புகழ் பெற்றது.
ஒரு எச்சரிக்கை: ஃபிபோனாச்சி முறையை பின்பற்றிய வடிவங்கள் இயற்கையில் பல உள்ளன என்றாலும், வேறு பல வடிவங்கள் அதைப் பின்பற்றுவதில்லை. உதாரணமாக, நான்கு இலைகள் கொண்ட குளோவர் அல்லது 4 இதழ்கள் உள்ள மலர்கள்.
வியக்கத்தக்கது என்னவென்றால், இந்த ஃபிபோனாச்சி எண்கள் இயற்கையில் எவ்வளவு முறை காணப்படுகிறது என்பதுதான்! இதுவரை, விஞ்ஞானிகளால் அறிந்துகொள்ள முடியாதது என்ன தெரியுமா? ஏன் இயற்கை இந்த ஃபிபோனாச்சி எண்களை இவ்வளவு விரும்புகிறது?
ஒருவேளை இந்தப் புதிருக்கு நீங்கள்தான் வளர்ந்து பதில் கண்டுபிடிப்பீர்கள் போலும்!
