"ரஞ்சு, அந்தக் கூடையிலிருந்து இரண்டு தேங்காய் கொண்டு வாயேன்."

ரஞ்சிதா அறையின் மறு மூலைக்கு சிட்டாகப் பறந்து போனாள். போன அடுத்த நொடியில் கையில் இரண்டு தேங்காய்களோடு திரும்பினாள்.

அம்மாவுக்கு ரொம்ப மகிழ்ச்சி. "ரொம்ப நன்றி கண்ணம்மா. நீ அம்மாவுக்கு எத்தனை உதவி செய்கிறாய்!"

ரஞ்சிதா பெருமையில் பூரித்தாள். இன்று ஒரு மிக முக்கியமான நாள் - அவளுடைய மகேஷ் சிக்கப்பா*வுக்குத் திருமணம்! அதில் அவளுக்கு ஒரு பெரிய பொறுப்பும் கூட இருந்தது - சாப்பாட்டிற்குப் பின் 100 விருந்தினர்களுக்கு இனிப்பு டப்பாக்கள் கொடுக்க வேண்டும்.

*சிக்கப்பா - கன்னட மொழியில் சித்தப்பா

ஆனால் இனிப்பு டப்பாக்கள் எங்கே?

"அடடா! இனிப்பு டப்பாக்கள் இன்னும் மாடி அறையிலேயே இருக்கே! ஓடிப்போய் அதை எல்லாம் சீக்கிரம் கீழே கொண்டு வா ரஞ்சு. விருந்தினர்கள் சாப்பிட்டு முடிக்கும் நேரம் ஆச்சு.""அம்மா, நீ என்னை எப்போதும்  உதவிக்குக் கூப்பிடுவதே இல்லை!" என்று மெலிதான ஒரு சிணுங்கல் கேட்டது. "அதோட எனக்கு ஒரே பசி!""நீ அக்காவுக்கு உதவலாம் விக்கி," நயமாகச் சொன்னாள் அம்மா. "ரஞ்சு , இவனையும் கூட்டிக்கொண்டு போயேன்."ரஞ்சிதா முகம் சுளித்தாள். இந்த அம்மா ஏன்தான் எப்போதும் இப்படி செய்கிறாளோ? அவள் தம்பி விக்ரம் ஒரே தொல்லை! ஆனால் வாக்குவாதம் செய்ய இப்போது நேரமில்லை.

"நான் சொல்வதைக் கேட்டு அப்படியே நடக்க வேண்டும் விக்கி, புரிஞ்சுதா?" என்று கண்களை உருட்டி அவனை மிரட்டினாள் ரஞ்சிதா.விக்ரம் தலையை ஆட்டினான் "கண்டிப்பா அக்கா!"

இருவரும் மாடியில் உள்ள அறைக்கு ஓடினர். அங்கே ஒரு மூலையில் பல துணிப்பைகள் இருந்தன. அவற்றில் ஒன்றை ரஞ்சிதா பிரித்தாள். உள்ளே பல இனிப்பு டப்பாக்கள் இருந்தன.

"எல்லாப் பைகளையும் பிரித்து 100 டப்பாக்களை எண்ண ரொம்ப நேரம் ஆகும் அக்கா! எனக்கு ரொம்ப பசிக்குது" என்று விக்ரம் கவலைப்பட்டான்.

"ஷ்ஷ்ஷ்!" சீறினாள் ரஞ்சிதா. "கொஞ்சம் பொறு, யோசிப்போம்."

ரஞ்சிதா தீவிரமாக யோசித்தாள். விக்ரம் சொல்வதும் சரிதான். 100 டப்பாக்களை எண்ணுவதற்கு மிகவும் நேரமாகும். அத்தனை பைகளையும் கீழே எடுத்துச் செல்லலாம் என்றால், அதுவும் அவர்களால் முடியாது- அங்கே நிறைய பைகள் இருந்தன!

விக்ரம் ஏக்கத்துடன் அந்த இனிப்பு டப்பாக்களைப் பார்த்தான். "அக்கா, ஒரே ஒரு டப்பாவைத் திறக்கட்டுமா? ரொம்பப் பசிக்குது."

"கூடாது!" என்றாள் ரஞ்சிதா. திடீரென ஏதோ யோசனை வந்தவளாக, புன்னகைத்தாள்.

"நாம் சரியாக 100 டப்பாக்களை எண்ணவேண்டிய அவசியமில்லை. தோராயமாக 100 டப்பாக்களை எடுத்துக்கொண்டால் வேலை வேகமாக முடியும்! எப்படி என் யோசனை?"

"தோராயமாகவா?" விக்ரம் முகத்தில் குழப்பம். "அப்படி என்றால் என்ன அக்கா?"

"அப்படின்னா நமக்கு வேண்டிய எண்ணிலிருந்து சிறிது கூடவோ,  குறையவோ இருக்கலாம்" என்றாள் ரஞ்சிதா.

"ஆ... ஆனால்," விக்ரம் மெதுவாக கேட்டான். "நாம 100க்குக் குறைவாக எடுத்துக்கொண்டு போனால் எல்லாருக்கும் இனிப்பு டப்பா கிடைக்காதே!"

"அப்போ, கொஞ்சம் கூட எடுத்துப் போவோம்!" என்றாள் ரஞ்சிதா.

"சரி, சீக்கிரம் வா, எனக்கு ரொம்பப் பசிக்குது!" என்று சில பைகளை அள்ளினான் விக்ரம்.

"இருடா, குட்டிப்பயலே! முதலில் எப்படித் தோராயமாக கணக்கிடுவது என்று கற்றுத்தருகிறேன்!" என்றாள் ரஞ்சிதா.

அவள் ஒரு பையிலிருந்த இனிப்பு டப்பாக்களை எல்லாம் தரையில் கொட்டி கணக்கிட்டாள்.

"பாருடா, இந்தப் பையில் 10 டப்பாக்கள் இருக்கு" என்றாள். விக்ரம் ஆமோதித்தான்.

ரஞ்சிதா மற்ற பைகளைச் சுட்டிக்காட்டி "எல்லாப் பைகளும் தோராயமாக, ஏறக்குறைய ஒரே அளவில் இருக்கின்றன. இதிலிருந்து உனக்கு என்ன புரிகிறது?" என்றாள்.

விக்ரம் முழித்தான்.

"இதிலிருந்து, எல்லாப் பைகளிலும் தோராயமாக, ஏறக்குறைய 10 இனிப்பு டப்பாக்கள் இருப்பது புரிகிறது!" என்று ரஞ்சிதாவே விளக்கினாள்.

"ஓ அதுவா, அதுதான் எனக்குத் தெரியுமே!" என்றான் விக்ரம்.

ரஞ்சிதா தன் சிரிப்பை அடக்கிக்கொண்டு மேலும் வினவினாள் "அப்போ ரெண்டு பையில் எவ்வளவு மிட்டாய் டப்பாக்கள் இருக்கும்? சொல்லு பார்ப்போம்!"

"தோராயமாக, ஏறக்குறைய 20*," என்று உடனே கூறினான் விக்ரம்.

"மூன்று பைகளில்?"

"தோராயமாக, ஏறக்குறைய 30** ,” என்று புன்முறுவல் பூத்தான் விக்ரம். அவனுக்கு இந்தத் தோராயமான விஷயம் மெல்ல மெல்லப் புரிய ஆரம்பித்திருந்தது.

"ஐந்து பைகளில்?"

"தோராயமாக, ஏறக்குறைய 50***," என்று சட்டெனச் சொன்னான் விக்ரம். "அதாவது, நமக்கு வேண்டிய 100 மிட்டாய் டப்பாக்களில் பாதி 50!"

*(10 x 2 = 20)

** (10 x 3 = 30)

*** (10 x 5 = 50)

****(100 ல் பாதி = 100 / 2 = 50)

"அருமை விக்கி!" பாராட்டினாள் ரஞ்சு.

விக்ரம் பெருமையில் முகம் சிவந்தான். அக்காவிடம் பாராட்டு வாங்குவதென்ன சும்மாவா?

"இப்போது ஒரு மிட்டாய் டப்பாவைப் பிரிக்கலாம்…" என்று அவன் சொல்ல, ரஞ்சிதா முறைத்தாள்.

"அதாவது, நான் தோராயமாக, ஏறக்குறைய 50 டப்பாக்கள் கொண்ட 5 பைகளுடன் கீழே போகிறேன், நீ 5 பைகளைக் கொண்டு வா என்கிறேன். சரியா?" என்று உடனே சமாளித்தான் விக்ரம்.

"இரு, நாம் எல்லாப் பைகளிலும் உள்ள டப்பாக்களை எண்ணவில்லை. ஒன்றிரண்டு பைகளில் 8 டப்பாக்கள் மட்டுமே இருந்தால் என்ன செய்வது? எல்லாருக்கும் கொடுக்கப் போதாதே! சில விருந்தினர்கள் இனிப்பு டப்பா இல்லாமல் ஏமாற்றமடைவார்களே!"

விக்ரம் யோசித்தான். எப்போதும்போல, அக்கா சொல்வது சரிதான்.

"அப்படியானால் தோராயமாக, ஏறக்குறைய 110 டப்பாக்களுடன் 11 பைகளை எடுத்துக்கொண்டு போவோமா?" என்று தயங்கித் தயங்கிக் கேட்டான் அவன்.

"சபாஷ், சரியான பதில்!” என்றாள் ரஞ்சிதா, “நீ 5 பைகளைக் கொண்டு போ, நான் 6 பைகளைக் கொண்டுவருகிறேன்."

இருவரும் பைகளுடன் கீழே ஓடினர். இருவரையும் காணவில்லையே என்று கவலையுடன் நின்றுகொண்டிருந்த அம்மா அவர்களைக் கண்டு நிம்மதி அடைந்தாள்.

"பரவாயில்லையே, சட்டுனு வந்துட்டீங்களே! எல்லாருக்கும் போதுமான அளவு கொண்டுவந்தீங்களா?" அம்மா ஆச்சரியமும் கவலையும் கலந்த தொனியில் கேட்டாள்.

"ஆமாம் அம்மா. ஆனால் எனக்கு ரொம்ப ரொம்பப் பசிக்குது!"

எல்லா விருந்தினர்களும் சென்ற பின் அம்மா ரஞ்சிதாவையும் விக்ரமையும் கட்டி அணைத்து, "இன்றைக்கு எவ்வளவு பெரிய உதவி செய்திருக்கீங்க இரண்டு பேரும்!" என்றாள்.

பிறகு சந்தேகமாக அவர்களைப் பார்த்து, "நீங்கள் இருவரும் சேர்ந்து இவ்வளவு ஒற்றுமையாக வேலை செய்து நான் பார்த்ததே இல்லையே! அப்படியானால் ஒரு வழியாக இருவரும் ஒன்றாக சேர்ந்துட்டீங்களா?" என்று கேட்டாள்.

ரஞ்சிதாவும் விக்ரமும் சிரித்துக்கொண்டே, "தோராயமாக, ஏறக்குறைய!" என்று ஒருசேரக் கூறிவிட்டு, சாப்பிட ஓட்டமெடுத்தனர்.

ஊகித்தல் விளையாட்டு

ரஞ்சிதாவும் விக்ரமும் அவர்களுக்குக் கொடுக்கப்பட்ட வேலையை வேகமாக முடிக்க ஒரு நுட்பமான உத்தியைக் கையாளுகின்றனர். அவர்கள் அதை “தோராயமாக, ஏறக்குறைய” என்று அழைக்கின்றனர்; கணித வல்லுனர்கள் அதை “மதிப்பிடல்” என்று கூறுகின்றனர்.

மதிப்பிடல் என்றால் என்ன? அது ஊகித்தல்  போன்றதா?

கிட்டத்தட்ட அதுபோலத்தான்,  ஆனால், மதிப்பிடல் ஒரு புத்திசாலித்தனமான ஊகம்.

நமக்கு மதிப்பிடல் எதற்காகத் தேவைப்படுகிறது?

தவறான விடைகளைச் சட்டென்று அடையாளம் காண மதிப்பிடல் பெரிதும் உதவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, கீழ்க்காணும் வினாவுக்கு விடையளிக்க உங்களுக்கு 30 வினாடிகள் மட்டுமே இருக்கின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

17 x 9 - இந்தப் பெருக்கலின் விடை என்ன?

i)   172

ii)  153

iii) 186

iv)  89

உங்களுக்கு 17 x 10 = 170 என்பது ஏற்கனவே தெரிந்திருக்கும் (எந்த ஒரு எண்ணையும் பத்தால் பெருக்கினால் அதே எண்ணின் முடிவில் ஒரு பூஜ்ஜியம் சேர்த்துக்கொள்ள வேண்டும்). ஆக, 17 x 9 ன் விடை 170ஐவிடக் குறைவாக இருக்க வேண்டும். இதன்படி, (i) மற்றும் (iii)ம் தெரிவுகள் தவறானவை. (iv)ம் தெரிவு, சரியான விடையைக் காட்டிலும் மிகச் சிறிதாகப் படுகிறது - 17 x 9 க்கான விடை 170ன் அருகில் இருத்தல் அவசியம். ஆகவே நாம் (ii)ம் தெரிவே சரியானது என்று தேர்ந்தெடுக்கலாம். சரியான விடையும் அதுதான்!

தோராயமான மதிப்பீடு, நமக்குச் சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுக்க எப்படி உதவியது, பார்த்தீர்களா?

நடைமுறையில் நடக்கும் பல தவறுகளை மதிப்பிடல் மூலம்   கண்டறியலாம்

மளிகைக்கடையில் பொருட்களை வாங்கும்போது, மொத்தத் தொகையைத்  தோராயமாக மதிப்பிட்டுக்கொண்டே வந்தால், ரசீதில் தவறு இருந்தால் உங்களுக்கு உடனடியாகத் தெரிந்து விடும்!தூரங்களைக் கணக்கிட மதிப்பிடல் உதவும்

நீங்கள் ஓர் அடியில் 30 செ.மீ. கடக்கிறீர்கள் என்று உங்களுக்குத் தெரிகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், உங்கள் வீட்டிலிருந்து நூலகத்திற்குச் செல்ல 1800 அடிகள் தேவைப்படுகின்றன, அப்படியானால் உங்கள் வீட்டிலிருந்து நூலகம் எவ்வளவு தொலைவு என்று எளிதில் கணக்கிடலாம் (1800 x 30 செ.மீ. = 54000 செ.மீ. = 540 மீ, அதாவது கிட்டத்தட்ட அரைக் கிலோமீட்டர்.மதிப்பிடலைக்கொண்டு சில விளையாட்டுகளையும் விளையாடலாம்!

அரைக் கிலோ உரிக்கப்படாத  பட்டாணியில் எத்தனைப் பட்டாணி விதைகள் இருக்கும்? ஒரு  கொடிமரத்தின் உயரத்தை எட்ட எவ்வளவு யானைகள் ஒன்றன்மேல் ஒன்றாக நிற்கவேண்டும்? இம்மாதிரியான பல எடக்குமடக்கான கேள்விகளுக்குக்கூட, நீங்கள் மதிப்பிடலின் மூலம் விடை கண்டுபிடிக்கலாம்.