“இந்த முறை நீதான் மரத்தில் ஏறவேண்டும், ஏறு!” என்றான் அர்ஜுன். பிரணவ் மரத்தை நிமிர்ந்து பார்த்துவிட்டு, “சரி. ஏறுகிறேன்” என்றான். “பந்து தெரிகிறதா?” என்று மானசா கீழேயிருந்து கத்தினாள். ஆனால், பிரணவின் கவனத்தை வேறொன்று ஈர்த்தது.

“இங்க பாருங்க! தேன்கூடு!” என்று பிரணவ் கத்தினான். “தேனீக்கள் இருக்கா?” என்று மானசா கவலை தொனிக்கக் கேட்டாள். “கவலைப்படாதே! இது காலிக் கூடு” என்றபடி அதை உற்றுப் பார்த்தான் பிரணவ். “இதில் நிறைய துளைகள் இருக்கின்றன. அவை எல்லாம் ஒரே வடிவத்தில் இருக்கின்றன...”

“தேனீக்கள் ஏன் இந்த வடிவத்தைத் தேர்ந்தெடுத்தன?

ஏன் இவை வட்ட வடிவத்தில் இல்லை?” என்று பிரணவ் வியந்தான்.

தேன்கூட்டை வட்ட வடிவத் துளைகளோடு கற்பனை செய்துபார்த்தான்.

“ அது வேலைக்கு ஆகாது.”

“தேனீக்கள் அறிவாளிகள். தங்கள் வீட்டை உருவாக்க சிறந்த வடிவத்தை அவை கண்டறிந்துள்ளன. இந்த அறுகோணங்களை சேர்க்கும்போது இடைவெளியோ துளைகளோ ஏற்படுவதில்லை. கச்சிதமாகப் பொருந்திய புதிர்க்கட்டம் போலிருக்கிறது” என்று நண்பர்களை அடுத்த நாள் சந்தித்தபோது கூறினான் பிரணவ். தேனீக்கள் குறித்து அவன் நிறைய படிக்கத் தொடங்கியிருந்தான்.

கணித ஆசிரியர் தாஸ் அவர்களுடைய பேச்சைக் கவனித்தார். “அறுகோண அறைகள் தேனீக்களுக்கு கூடுதல் இடத்தைத் தரும்” என்றார்.

“அதைச் செய்ய அவை எங்கேகற்றுக்கொள்கின்றன?” என்று கேட்டான் பிரணவ்.

“வடிவமாதிரிகள் எங்கு பார்த்தாலும் இருக்கின்றன!” என்று புன்னகைத்தார் ஆசிரியர் தாஸ்.

அடுத்த நாள் சந்தைக்குப் போயிருந்த பிரணவ் பழங்கள் காய்கறிகளைக் கவனித்துப் பார்த்தான். அன்னாசிப் பழங்கள், பீர்க்கங்காயின் கோடுகள், ஆரஞ்சுகளின் உட்புறம் எல்லாவற்றையும் பார்த்தான். எத்தனை எத்தனை அளவுகள், வண்ணங்கள், வடிவங்கள்! ஆனால் பிரணவுக்கு வடிவமாதிரிகள் தெரிந்தன.

“வடிவமாதிரிகள் உண்மையாகவே எங்கு பார்த்தாலும் இருக்குமா?” என்று வியந்தான்.

பிரணவ் இப்போது வடிவமாதிரிகளைத் தேடும் துப்பறிவாளன் ஆகிவிட்டான்!

அடுத்த நாள் வகுப்பறையில் பிரணவ், “இயற்கையில் உள்ள பல பொருட்கள் ஒரே வடிவத்தைத் திரும்பத்திரும்ப அடுக்குவதன் வழி உருவாகின்றன” என்றான்.

“மனிதர்கள் உருவாக்கிய பொருட்களிலும் இதேபோன்று ஒரே வடிவமாதிரிகளைப் பார்க்கலாம். வடிவமாதிரிகளைக் கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட சில விஷயங்களை நீங்கள் வீட்டுப்பாடமாகச் செய்து வாருங்கள்” என்று கணித ஆசிரியர் தாஸ் கூறினார்.

“எந்த வடிவங்களை வைத்து வடிவமாதிரிகள் உருவாக்கலாம்?” என்று பிரணவ் கேட்டான்.

ஆசிரியர் தாஸ் பதிலை கரும்பலகையில் எழுதினார்.

எந்த வடிவத்தை வேண்டுமானாலும்!

வீட்டில், பிரணவ் தன் வீட்டுப்பாடத்தைப் பற்றி யோசித்தான். சதுரமான அல்லது முக்கோணமான அறைகளைக் கொண்ட தேனடைகளை உருவாக்கலாமென கற்பனை செய்தான்.

அப்போது ஆசிரியர் தாஸ் சொன்னது நினைவுக்கு வந்தது, “வடிவமாதிரிகள் எங்கு பார்த்தாலும் இருக்கின்றன”.

இப்போது அவன் கண்ணுக்கு வடிவமாதிரிகள் தெரிந்தன.

தரைவிரிப்பு, புத்தக அலமாரி, ஜன்னல்கள். எங்கெங்கும் வடிவமாதிரிகள்! எந்தப் பக்கம் பார்த்தாலும், வடிவங்கள் ஒன்றுபோலக் கூடியிருப்பதைக் கண்டான். “தேனீக்கள் மட்டும் அறிவாளிகள் அல்ல. மனிதர்களாகிய நாமும் வடிவங்களையும் வடிவமாதிரிகளையும் பல இடங்களில் பயன்படுத்துகிறோம்” என்று பிரணவுக்குத் தோன்றியது.

எனவே, தனது கனவு வீட்டை வரைவதில் அவன் மூழ்கினான்.

சிவப்பு நீள்சதுர செங்கற்கள், கறுப்பு வெள்ளை சதுர தரைக்கல் பதிக்கப்பட்ட வாசல், அவன் பாட்டி வீட்டைப் போலவே.

எளிமையான வடிவங்களை வைத்து தேனீக்களுக்கும், எனக்கும், உங்களுக்கும் கூட வீட்டை உருவாக்கிவிட முடியுமென நாம் நினைத்திருப்போமா, என்ன!

வடிவமாதிரிகளைக் கண்டறியுங்கள்

இயற்கையில் உருவான வடிவங்களும் அவை ஒன்றுகூடியுள்ள விதமும் புத்திசாலித்தனமானவை. தன்னைச் சுற்றியுள்ள அனைத்துப் பொருட்களிலும் பிரணவ் இதைப் பார்க்கிறான்: அன்னாசி பழத்தின் வெளிப்பகுதி, ஆரஞ்சின் உட்பகுதி, தேனடையின் அறுகோணங்கள்.

அறுகோணம், சதுரம் போன்ற சில வடிவங்கள் அடுத்தடுத்து சேர்க்கப்படும்போது, இடைவெளி இல்லாமல் கச்சிதமாக சேர்ந்துகொள்கின்றன. அதேநேரம் வட்டம் போன்ற பிற வடிவங்களை இதுபோல் சேர்க்க முடிவதில்லை. இயற்கையில் காணப்படும் வடிவங்கள் இடைவெளியோ துளைகளோ இல்லாமல் கச்சிதமாக ஒன்றுசேர்ந்து வடிவமாதிரிகளை உருவாக்குவதற்குக் கச்சிதக் கட்டமைப்பு(tessellation) என்று பெயர்.

மனிதர்களும் இந்தக் கச்சிதக் கட்டமைப்பை பயன்படுத்தியிருப்பதை பிரணவ் கண்டான். ஒரேவகையான வடிவங்களை திரும்பத்திரும்பப் பயன்படுத்தி நாமும் வடிவமாதிரிகளை உருவாக்குகிறோம்.  அவற்றைக் கொண்டு புத்தக அலமாரிகளையும் கோட்டைகளையும் கலைப்பொருட்கள் போன்றவற்றையும் வடிவமைக்கிறோம்.

கச்சிதக் கட்டமைப்புக்கு வில்லை பதித்தல்(tiling) என்றொரு பெயரும் உண்டு.